第137章 三次丟番圖方程的一種特殊解法
剛開始看到這個題目，教室里所有人都有點沒繃住，他們已經不止一次的在朋友圈或者什麼地方看到這種圖，它們往往都帶著個十分驚悚的標題，比如什麼「95%麻省理工畢業生無法解決的問題」。
實際上這些問題要麼很空洞，要麼偷換概念，要麼就是無關緊要的腦筋急轉彎。
但這道題顯然不是！
對於在這個教室里接受集訓的同學們來說，香蕉蘋果菠蘿什麼的自然不會是阻礙，他們早就將問題轉化成了數學符號。
實際上這道題是讓他們求解a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=4這個方程的整數解。
這顯然是一類丟番圖方程問題。
任何一個對丟番圖方程有所了解的數學研究者都知道，一次的丟番圖方程很簡單，二次的也已經被理解的十分透徹，一般都能用相對初等的方法解決，三次的就要涉及汪洋一般的深奧理論和數不勝數的開放問題，至於四次，簡單來說就是難得沒邊。
題目給出的就是一個三次丟番圖方程。
或許題目給的不太明顯，但只要簡單做一個變換，去掉分母，我們就能得到a^3+b^3+c^3-3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)-5abc=0.
鄧樂岩埋頭苦算，他之前接觸過丟番圖方程，知道解這類丟番圖方程需要用到橢圓曲線，但具體應該如何求解，他還沒有什麼思路。
王瀟同樣是如此。
李澤翰則是在一旁抓耳撓腮，他之前一直專注學習初等數學，為CMO做準備，不過才剛接觸高等數學。
丟番圖方程他是知道的，可要怎麼求解，他卻有些束手無策。
至於其他人，更是如同無頭的蒼蠅一般在草稿紙上推演，卻根本沒什麼頭緒。
不過在他們看來，既然老師拿出這道題，自然應該是有解的，他們不相信自己會解不出來，身為天才，他們有這樣的自信。
原本熱烈的搶答氛圍一變，整個教室竟無一人舉手，一片靜悄悄，同學們都瘋狂的在草稿紙上演算起來。
徐志遠看向教室中陷入沉思的同學們，嘴角露出一絲壞壞的笑意。
是時候給這些小傢伙們一點數學震撼了！
可惜此時所有人都沉浸在計算之中，沒有人注意到他的這一絲壞笑。
【你的數學等級由2級99%提升到100%】
【你的數學等級提升到3級，自由屬性點+1】
沉浸在學習中的陳輝眼前忽然閃過一道彈幕，喜悅油然而生，數學熟練度總算是肝到3級了，也正如他所料，數學熟練度提升到3級後再次獲得了一個自由屬性點。
沒有猶豫，
「創造力，給我加點！」
從得到第一個自由屬性點以來，已經過去半年多，陳輝終於決定將它投入到這個之前從沒關注過的屬性上。
之前他接觸到的數學，都是需要通過所學的知識去求解一些題目，解決一些常規的問題。
但最近，他越來越體會到創造力的重要性。
如果沒有舒爾茨提出的凝聚態數學，他不可能解決老師在朗蘭茲綱領證明上遇到的困難，如果沒有朗蘭茲提出的一系列猜想，他也不可能解決分數陳類的微分幾何實現。
不管是凝聚態數學還是朗蘭茲綱領，都是之前從來沒有出現過的數學工具。
到了如今的階段，做數學研究和解決數學問題，再也不是對所學知識的運用，在某些情況下，需要自己創造出新的工具，才能解決問題！
【宿主：陳輝
洞察力4級：（4.1/5）
判斷力1級：（1.8/2）
創造力1級：（1.5/2）
記憶力3級：（3.6/4）】
創造力的提升並沒有帶來什麼獨特的變化，這也是陳輝對這個數據面板感到困惑的地方，似乎每一次升級加點都不會給他帶來翻天覆地的變化，他甚至都感受不到這種變化的發生。
但或許，這些變化早就在他學習的每一分每一秒，時刻發生著，所以才感受不到。
做完這些，陳輝才注意到投影儀上的那道題目，還有身旁正抓耳撓腮的李澤翰。
「有點意思！」
只一眼，還沒有遭受朋友圈和網絡污染的陳輝就看懂了這道題目的意思。
他雖然早就擁有手機了，但除了查資料上網，他平時很少關注其他的無關訊息，即便有，也都是主動搜索，而非被動接受。
「老大能解？」
李澤翰察覺到動靜，抬起頭來，目光灼灼的看向陳輝。
「可以試試。」
原本陳輝以為這次集訓不會有有價值的東西，所以根本沒聽，但這道題，顯然是很有難度的。
他喜歡有難度的題目！
聽到這句話，小組內的其他幾人也都看了過來。
他們反正沒什麼頭緒，索性都停了筆，看向陳輝的草稿紙。
「同學們，有人算出答案了嗎？」
過了幾分鐘後，徐志遠看了看時間，已經九點五十四，快要下課了，他從來不是個拖堂的老師，當然，他也從來不是個喜歡解謎的老師，他會給出答案，然後讓同學們自己回去思考解題方法，留下些懸念，欲知後事如何，明天再來講解。
這時，有人舉手，「老師，非正整數解可以嗎？比如a=-1，b=1，c=0這種？」
「當然不行，必須要正整數解才行。」
徐志遠搖頭，這道題的精髓就在於正整數解，難度也在正整數解。
如果是有理解，那這樣的特解隨時可以寫出一大堆來。
但找到這道題的有理解，是打開這道題大門的第一步，可惜，眼前這些小傢伙並不知道。
「好了，這道題的解為……」
徐志勝又等了兩分鐘，發現沒有其他人舉手後，走回到講台，拿起粉筆，一邊說一邊寫到。
「大家可以自己思考一下求解思路，明天我再來給大家講一講這一類丟番圖方程。」
因為解實在太長，第一個解還沒寫完，他的話已經說完。
雖然這次集訓是為IMO做準備，但徐志遠覺得，培養孩子們對數學的興趣，遠比拿什麼IMO金牌來得有用。
IMO金牌每年都有很多，但最後能成為優秀數學家的，卻不多。
甚至，還有些IMO金牌選手因為形成了固定思維範式，對初等數學很擅長，可一旦接觸到高等數學，反而無法適應。
比如他之前就知道有一個IMO金牌選手，保送到燕北大學，卻讀了六年本科，因為他很多科都掛科了。
他還跟那些IMO保送清北後就打遊戲，荒廢學業被退學的選手不一樣，他學習非常刻苦，不是在刷題就是在刷題的路上，但他不重視高等數學的定義定理，而是用初等數學的方法和技巧去解決高等數學的問題。
這樣雖然也能解決一些問題，但顯然，這是用小米加步槍去解決飛機和大炮應該解決的問題，事倍功半，最後還不一定能解決。
所以，他被困在了本科。
或者說，他被自己的思維範式困住了，如果走不出來，這個孩子的一生或許就廢了。
能夠拿到IMO金牌，這樣的人不可能沒有天賦，這樣的結局，讓徐志遠感覺很是可惜。
所以，他決定在這些孩子們參加IMO之前，先給他們看看飛機大炮是什麼樣的，來一次軍火展示！
徐志遠一邊對著手機寫答案，一邊在腦海中胡思亂想，忽然，他聽到背後有動靜傳來。
只見一個學生站了起來，然後開口說道，「」
「？」
教室里所有人都停下了手上的動作，抬頭看向陳輝。
即便他們已經知道這個傢伙很強，但聽到這個答案，他們依舊覺得這傢伙像個傻子。
他們上一次聽到有人念出這麼多數字，還是一位記憶力超群的傢伙在背π小數點後一千位……
他們的確做不出來這道題，但他們覺得，這個答案太離譜了些。
所以，所有人的目光又轉向了徐志遠。
徐志遠也有些茫然。
老實說，這個答案他也記不住，三個八十多位的正整數，他也沒有去記住的必要。
但他很快反應過來，這個傢伙既然能說出這些數字，說明，他真的算出來了？
這怎麼可能？
徐志遠很懷疑，因為他也算不出來，這個答案，他是通過計算機算出來的，這個計算量已經超出了人腦的極限。
但他認識這個學生，陳輝！
他聽過一些這位CMO滿分選手的事跡，包括燕北大學那場研討會。
或許，他真的能夠算出來？！
徐志遠忽然有些期待。
如果他真能不利用計算機就算出來，那麼，這個方法是否能夠推廣到一般的情況，用來求解這一類丟番圖方程呢？
如果能的話，那這將是一個振奮人心的成果！
不過很快他就為自己這個想法感到可笑，他竟然試圖讓一個高中生去發明一種三次丟番圖方程的特殊解法。
「可以給大家講解一下你的求解方法嗎？」
雖然不抱希望，徐志遠還是決定聽聽陳輝的思路。
「我也是受到剛才那位同學的啟發。」
陳輝看向剛才舉手的那位同學，他也有些興奮，不管任何時候，解出一道難題總是會讓人感到興奮，充滿成就感。
所以他不介意跟大家分享他的解題思路，「我們可以很輕易的找到一組有理數特解，a=-1，b=1，c=0，有了有理數特解，就說明我們要求的這個方程實際上是一個橢圓曲線！」
「？」
那位被陳輝目光注視的同學滿臉茫然，眼神中透露出清澈的愚蠢，「我有這樣想過嗎？」
「哦，這裡的橢圓曲線是指域上虧格為1的光滑射影曲線。對於特徵不等於2的域，它的仿射方程可以寫成 y^2=x^3+ax^2+bx+c，複數域上的橢圓曲線為虧格為1的黎曼面，莫德爾證明了整體域上的橢圓曲線是有限生成交換群，這是著名的BSD猜想的前提條件，阿貝爾簇是橢圓曲線的高維推廣……」
考慮到教室里的都只是參加IMO的高中生，而不是當時在燕北大學的教授們，陳輝特地解釋了一句。
但他不解釋還好，這一解釋，教室中茫然的小眼神就更多了。
「說得就像你解釋了我們就能聽得懂一樣！」不少人暗暗腹誹。
陳輝卻沒有注意到同學們的反應，眼中神采奕奕，仿佛有無數數字和符號在跳動，「有了這個共識後，接下來我們可以將這個橢圓曲線轉化成威爾斯特拉斯形式，也就是y^2=x^3+109x^2+224x。」
「對了，這裡一定有同學會疑惑，原方程不是有三個未知數嗎？怎麼到這裡就只有兩個未知數了？」
「因為這個方程是齊次的，這意味著如果（a，b，c）是方程的一個特解的話，那（7a，7b，7c）也是它的解，這意味著這個方程看上去像是三維的，但它實際上只有兩維。
在幾何中，它對應著一個面，一個三元方程一般定義一個兩維的面，一般來說，k個n元方程定義一個d維的流形，d=n-k，這個面是由一條過原點的線旋轉形成的，可以通過截取的單平面來理解，所以由此也可以得知，這是一條射影曲線。」
陳輝似乎真的很想讓同學們能夠聽懂，能夠學到知識，儘量讓自己講得通俗易懂，甚至為了讓自己的過程更加清晰明了，他還走出座位，來到講台，拿起粉筆在黑板上劃出了這條橢圓曲線的示意圖。
「如圖，右邊的『魚尾』連續延伸至正負無窮，左邊的封閉橢圓曲線就是我們解決問題的契機，給定這個方程的任意解（x，y），我們都可以通過變換，還原出所求的a，b，c，這樣我們就構造出了一個雙有理數等價。」
講到這裡，教室里已經99%的同學都開始犯暈，只有鄧樂岩、王瀟等寥寥幾個人還能勉強跟上。
但他們此時也已經皺起了眉頭。
因為橢圓曲線問題本身就是個龐然大物，看似已經做了很多事情，但問題似乎並沒有得到解決。
徐志遠則是饒有興致的看向陳輝，如果說之前他還認為陳輝不可能解決這個問題，但現在，他覺得，這小子或許還真的找到了些訣竅。
「再回到構造出來的橢圓曲線，我們可以容易再上面找到一個很好的有理數點，x=100，y=260，這並不是正整數解，但不要著急，接下來我們利用弦切技巧進行加法，生成其它的有理數點。」
「通過作P點的切線，找到它和曲線再次相交的點，以此增加P點的值，得到2P=（8836/25，-950716/125），這樣我們可以得到a，b，c的一組新解，但顯然，他們依舊不是正整數解。
但沒關係，我們繼續疊代，計算3P、4P，一直計算到9P，最後我們就能得到a，b，c的正整數解了！」
說完，陳輝扔下粉筆，笑著說道，「計算稍微複雜了點，但整體思路還是很簡單的！」
(本章完)